几何中的代数联系2024年上海市中考数学第25题

对于几何结题中常见图形的学习，我们通常从位置关系和数量关系两个方面入手。当图形之间存在特定的位置关系时，必然存在相应的数量关系。反之，当图形之间存在数量关系时，也必然存在某种位置关系；

为了解决问题，需要分析图形的特性，找到图形之间的这两种关系。其中，学生觉得比较困难的是找到它们之间的数量关系，即代数相关性。

在三角形中，三边之间的数量关系最初源自线段公理，即“三角形的两条边之和大于第三条边”。然而，这是一种不平等的关系。等价关系出现在毕达哥拉斯定理中，而且还是特殊直角三角形，当然，一般三角形也有类似的数量关系，这个我们在高中的时候会进一步深入。两个三角形之间，有全等和相似，可以画出比例表达式，可以构造更多边长之间的定量关系，然后再结合毕达哥拉斯定理，对于普通学生来说难度会陡然增加。

话题

分析：

(1)条件中的平行和比例关系显然需要构造比例线段。可以用平行线将线段按比例分割，也可以构造类似的三角形；

方法一：连接DE并延长，与CB延长线交于G点，如下图：

由ADBC，我们构造一对相似三角形，ADEGBE，然后用AE=1/3AB求出它们的相似比为1:2，则DE=1/2GE，所以DE=1/3DG，加上DF=1/3CD，公角，可得DEFDGC，故可证明EFBC；

方法二：连接AF并延长，与BC延长线交于G点，如下图：

与方法一类似，只是先从ADFGCF，再到AEFABG；

方法三：过A点画AHCD，在AH上取G点，使AG=1/3AH，连接EG和FG，如下图：

由AE=1/3AB，AG=1/3AH，加上公角，可证明AEGABH，可得EGBH。因为AHCD，ADBC，我们可以得到平行四边形AHCD，所以AH=CD，加上DC=1/3CD，可以证明AG=DF，所以我们得到平行四边形ADFG，所以ADFG，我们可以得到FGBC。之前已经证明了EGBH，所以有E、G、F三点直线，最后得到EFBC；

方法四：通过D点作DHAB，在DH上取G点，使DG=1/3DH，连接EG和FG，与方法3类似，无需重复；

方法五：过E点画GHCD，与DA延长线和BC分别交于G点和H点，如下图：

容易证明AEGBEH，可得EG=1/3GH。由GHCD和ADBC，我们得到平行四边形GHCD，所以GH=CD，DF=1/3CD，所以EG=DF，我们得到平行四边形GEFD，所以EFAD，最后EFBC；

方法六：延长BA和CD交于G点，如下图：

很容易证明GADGBC，可得GA:GB=GD:GC，即GA:3AE=GD:3DF，故GA:AE=GD:DF，加上公角可得GADGEF。我们可以证明ADEF，最终得到EFBC；

(2)当AD=AE=1时；

连接DE后，可得等腰ADE。其外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，故过A点画DE的垂线AF。由等腰三角形的三条线可知，AF为DE的垂直平分线。线；然后在边AE上画垂直平分线GO与延长线AF交于O点，则ADE的外接圆圆心为O点；

连接BO。由题目条件可知BO是ABC的角平分线，如下图：

在等腰ADE中，AED=1/2(180-BAD)，由ADBC可得BAD+ABC=180，加上BO是角平分线，所以ABO=1 /2( 180-BAD)，所以AED=ABO，我们证明了DEBO，即AOB=AFE=90；

由DEBO可得AF:AO=AE:AB=1:3。假设AF=x，则AO=3x，AB=3；

容易证明RtAOGRtABO，可得AO:AB=AG:AO，故3x:3=1/2:3x，可得x=6/6，即AO=6/2；

由条件CD=DM·DN，加上公角，可证明DCNDMC，故DCN=DMC，则DMC=CEM，故这三个角相等，即，DCN=DMC=CEM，如下图：

图中AE=AD=1，AB=3，可得BE=2；显然EMCD，我们不妨延长BA和CD并交于F点，我们可以构造两对“A”形相似点，如下所示：

由ADBC可得FADFBC，且BC=4。可以发现相似比为1:4，然后求AF=1，顺便得到CD=3DF=3(CF-CD)。化简得CF=4 /3·CD；由此可知E点为BF的中点，再由EMCD可知EM为BCF中线（或证明BMEBCF），则得BM=CM=2，顺便我们得到CF=2EM，这样就得到了EM和CD的数量关系，EM:CD=2:3；

因此EN:CN=2:3，可得CN=3/5·CE。现在我们回到前面推导的DCNDMC，可得CM=CN·CE，即4=3/5·CE·CE，则得CE=215/3；

方法一：此时通过E点向BC方向画一条垂线EG，如下图：

假设GM=a，则BG=2-a，CG=2+a，分别利用RtBEG和RtCEG的勾股定理，可得BE-BG=CE-CG，列出方程： 4-( 2- a)=20/3-(2+a)，解为a=1/3；

先求BG=5/3，然后利用勾股定理求EG=11/9，在RtMEG中求EM=23/3，最后根据EM:CD=2:3求CD=3；

方法二：连接DE，如下图：

（本方案由远安外国语学校焦蕾老师提供）

假设DF=x，则CD=3x。由AE=AF=AD=1，可证明EDF=90。仍然利用RtEDF和RtEDC中的毕达哥拉斯定理，我们得到EF-DF=CE-CD，列出方程：4-x=20/3-9x，求解得到x=3/3，并且最终求出CD=3x=3。

解决问题的反思：

对于老师来说，在讲授这道题时如何画出准确的图表呢？以GeoGebra为例，先作等腰BCF，令BC=4，CF=43/3，然后分别取其BF、CF上的四分之一点A、D，以及BF边的中点E。BC上的中点M，然后连接CE、EM、DM，交点为N，如下图：

通过测量，发现满足提问条件。对了，连接DE然后测量检查EDF=90；

对于等腰BCF，也认为是特殊三角形。腰围与底座的比例为3:1。在这个腰底比下，DCE=CEM=DMC。至此，我们就完成了整个问题的代数联系。构成本题图形的基本条件是等腰BCF，其腰：底=3:1，线段AD割其边长和底的1/4，EM为中线；

挖掘出这些条件后，剩下的就是建立它们之间的关联性，隐藏一些条件，看看是否可以推导出其余的条件。